记得当时在学习齿轮的故障诊断时，文献中提及转频被啮合频率调制；在学习轴承的故障诊断时，常用的找到故障频率的方法是共振解调。什么是调制？怎么解调？调制与解调的原理到底是什么？对于这个问题，网上搜不到多少有用信息，很多回答者自己也是不求甚解，在进行系统地学习之后，我决定从原理上、从新手入门的角度来解释一下通信中的调制与解调。
1. 预备知识
若要完全了解调制与解调的来龙去脉，必须要先知道傅里叶变换，傅里叶变换对于信号处理的重要性来说，就像是易筋经对于一个人练习武学的重要性，学习傅里叶变换的推导过程就像是在练内功，内功不深厚，去练习更高级的招式，最后容易走火入魔。如果不知道傅里叶变换的推导过程的话，建议在学习本文之前先掌握以下4篇（按顺序慢慢看，一定看得懂）：
1.不用傅里叶变换，提取某一频率的幅值和相位2. 信号的正交分解和广义傅里叶级数3. 傅里叶变换那点事4. 真正掌握傅里叶变换
在第3篇文章中，推导出了傅里叶变换的公式为：
F
(
j
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
F(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j \omega t} \mathrm{~d} t
F(jω)=∫−∞∞f(t)e−jωt dt 以及傅里叶逆变换的公式为：
f
(
t
)
=
1
2
π
∫
−
∞
∞
F
(
j
ω
)
e
j
ω
t
d
ω
f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)\:\rm e^{\:\it j \omega t}\:\rm d\omega
f(t)=2π1∫−∞∞F(jω)ejωtdω 我们将
f
(
t
)
f(t)
f(t) 与
F
(
j
ω
)
F(j\omega)
F(jω) 称为一对傅里叶变换，可以用符号表示为：
f
(
t
)
⟷
F
(
j
ω
)
f(t)\longleftrightarrow F(j\omega)
f(t)⟷F(jω)
2. 傅里叶变换的频移特性
傅里叶变换的频移特性是通信理论中信号调制与解调的理论基础，该性质描述如下：
若
f
(
t
)
⟷
F
(
j
ω
)
f(t)\longleftrightarrow F(j\omega)
f(t)⟷F(jω) , 则
e
∓
j
ω
0
t
f
(
t
)
↔
F
[
j
(
ω
±
ω
0
)
]
e^{\mp j \omega_{0} t} f(t) \leftrightarrow F\left[j\left(\omega \pm \omega_{0}\right)\right]
e∓jω0tf(t)↔F[j(ω±ω0)] ,
ω
0
\omega_{0}
ω0 为实常数.
其证明如下：
F
[
e
∓
j
ω
0
t
f
(
t
)
]
=
∫
−
∞
∞
e
∓
j
ω
0
t
f
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
=
∫
−
∞
∞
f
(
t
)
e
−
j
(
ω
±
ω
0
)
t
d
t
=
F
[
j
(
ω
±
ω
0
)
]
\begin{aligned} & F\left[e^{\mp j \omega_{0} t} f(t)\right] \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} e^{\mp j \omega_{0} t} f(t) \mathrm{e}^{-j \omega t} \mathrm{~d} t \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \mathrm{e}^{-j\left(\omega \pm \omega_{0}\right) t} \mathrm{~d} t \\ =& F\left[j\left(\omega \pm \omega_{0}\right)\right] \end{aligned}
===F[e∓jω0tf(t)]∫−∞∞e∓jω0tf(t)e−jωt dt∫−∞∞f(t)e−j(ω±ω0)t dtF[j(ω±ω0)] 可见，频移特性的本质是频谱搬移。那么频谱搬移有什么作用呢？
比如人说话的频率是0到数十kHz，在打电话时，如果不把语音信号的频谱搬移到较高的频带范围内进行传输，信号的衰减会很大，传输距离会变短。
3. 什么是调制
下面通过几个计算题来逐渐说明什么是调制：
题目1：若
f
(
t
)
=
e
j
ω
0
t
f(t)=e^{j \omega_{0} t}
f(t)=ejω0t ，则其傅里叶变换
F
(
j
ω
)
F(j\omega)
F(jω)为多少？画出频谱图
由第3篇文章可知：
1
⟷
2
π
δ
(
ω
)
1 \longleftrightarrow 2 \pi \delta(\omega)
1⟷2πδ(ω) 根据频移特性有：
e
j
ω
0
t
⟷
2
π
δ
(
ω
−
ω
0
)
e^{j \omega_{0} t} \longleftrightarrow 2 \pi \delta\left(\omega-\omega_{0}\right)
ejω0t⟷2πδ(ω−ω0) 频谱图如下：
题目2：若
f
(
t
)
=
cos
ω
0
t
f(t)=\cos \omega_{0} t
f(t)=cosω0t ，则其傅里叶变换
F
(
j
ω
)
F(j\omega)
F(jω)为多少？画出频谱图.
根据欧拉公式，有：
cos
(
ω
0
t
)
=
1
2
e
−
j
ω
0
t
+
1
2
e
j
ω
0
t
\cos \left(\omega_{0} t\right)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-j \omega_{0} t}+\frac{1}{2} \mathrm{e}^{j \omega_{0} t}
cos(ω0t)=21e−jω0t+21ejω0t 根据傅里叶变换的线性性质，有
F
(
j
ω
)
=
π
[
δ
(
ω
+
ω
0
)
+
δ
(
ω
−
ω
0
)
]
F(\mathrm{j} \omega)=\pi\left[\delta\left(\omega+\omega_{0}\right)+\delta\right. \left.\left(\omega-\omega_{0}\right)\right]
F(jω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)] 画出其频谱图如下：
思考：若已知
f
(
t
)
f(t)
f(t) 的频谱图 ，如何画
f
(
t
)
cos
ω
0
t
f(t)\cos \omega_{0} t
f(t)cosω0t 频谱图.
如果
f
(
t
)
f(t)
f(t) 的傅里叶变换为
F
(
j
ω
)
F(j\omega)
F(jω) ，那么根据傅里叶变换的频移特性，
f
(
t
)
cos
ω
0
t
f(t)\cos \omega_{0} t
f(t)cosω0t 的傅里叶变换为：
f
(
t
)
cos
(
ω
0
t
)
=
f
(
t
)
[
1
2
e
j
ω
0
t
+
1
2
e
−
j
ω
0
t
]
↔
1
2
F
[
j
(
ω
−
ω
0
)
]
+
1
2
F
[
j
(
ω
+
ω
0
)
]
\begin{aligned} f(t) \cos \left(\omega_{0} t\right) &=f(t)\left[\frac{1}{2} \mathrm{e}^{j \omega_{0} t}+\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-j \omega_{0} t}\right] \\ & \leftrightarrow \frac{1}{2} F\left[j\left(\omega-\omega_{0}\right)\right]+\frac{1}{2} F\left[j\left(\omega+\omega_{0}\right)\right] \end{aligned}
f(t)cos(ω0t)=f(t)[21ejω0t+21e−jω0t]↔21F[j(ω−ω0)]+21F[j(ω+ω0)] 假设
f
(
t
)
f(t)
f(t) 的频谱图如下左图所示，且其频带宽度小于
ω
0
\omega_0
ω0 ，则
cos
ω
0
t
\cos \omega_{0} t
cosω0t 、
f
(
t
)
cos
ω
0
t
f(t)\cos \omega_{0} t
f(t)cosω0t 的频谱图大致如下中图和下右图所示：
一般，
f
(
t
)
f(t)
f(t) 是我们需要传递的信息波（即调制信号），为了更好地进行传输，我们可以将
f
(
t
)
f(t)
f(t) 乘以一个余弦信号
cos
ω
0
t
\cos \omega_{0} t
cosω0t (一般
ω
0
\omega_0
ω0很大)，把信息波搬移到以
ω
0
\omega_0
ω0 为中心的频段范围内。这个被乘的
cos
ω
0
t
\cos \omega_{0} t
cosω0t 称为载波信号 ，可以理解成它负责搬运哈哈。而他们的乘积
f
(
t
)
cos
ω
0
t
f(t)\cos \omega_{0} t
f(t)cosω0t 被称为已调信号。注意，有时候也会把已调信号笼统的说是调制信号。
4. 如何解调
假如我们按照上面的操作，已经把需要的信号所有频率成分搬移到了很高的频段上，也完成了信号的传输。那么在信号进行传输后的接收端，需要把调制信号从已调信号中再恢复出来，这个过程就叫做解调（个人理解，不是严格的定义）。突然感觉这个过程很像电能输送啊：低压电->变压器->高压电->漫长的传输->变压器->低压电，真奇妙。
在接收端我们得到的是已调信号
f
(
t
)
cos
ω
0
t
f(t)\cos \omega_{0} t
f(t)cosω0t ，此时如果再将
f
(
t
)
cos
ω
0
t
f(t)\cos \omega_{0} t
f(t)cosω0t 乘以一个余弦信号
cos
ω
0
t
\cos \omega_{0} t
cosω0t ,即可以将
f
(
t
)
f(t)
f(t) 解调出来：
再次相乘使得，可以看做先将
f
(
t
)
cos
ω
0
t
f(t)\cos \omega_{0} t
f(t)cosω0t 的负半轴一分为二，被分后的任一部分幅度降低一半：
再将
f
(
t
)
cos
ω
0
t
f(t)\cos \omega_{0} t
f(t)cosω0t 的正半轴也一分为二，幅度变化同上：
而两者之和即为相乘后的频谱，即
f
(
t
)
⋅
cos
ω
0
t
⋅
cos
ω
0
t
f(t)\cdot \cos \omega_{0} t\cdot \cos \omega_{0} t
f(t)⋅cosω0t⋅cosω0t 的频谱：
这样我们再对其进行低通滤波和幅度补偿，就可以得到原来的信号
f
(
t
)
f(t)
f(t)啦！
5.其他说明
本文主要目的是对调制和解调的原理进行解释，选择了最简单的调幅（因为信息波
f
(
t
)
f(t)
f(t) 是随着
cos
ω
0
t
\cos \omega_{0} t
cosω0t 的幅度变化而变化的 ）来进行说明。尽管所介绍的方法原理简单，但实现很困难。因为上述解调方法是同步解调法，意味着不仅要在发送端产生一个
cos
ω
0
t
\cos \omega_{0} t
cosω0t ，在接收端同样需要产生一个频率和相位都一致的
cos
ω
0
t
\cos \omega_{0} t
cosω0t ，这是不那么容易实现的。
注：如果对公式理解还不是那么透彻的话，我觉得还可以这么理解调制与解调：直接看三角函数的积化和差公式。